2020年02月20日

リーマン予想で負の偶数は「自明な零点」とのこ

リーマン予想で負の偶数は「自明な零点」とのことですか、どうしてゼータ関数の値...リーマン予想で負の偶数は「自明な零点」とのことですか、どうしてゼータ関数の値が0になるんですか?ゼータ関数の変数s=-2

としてもζ(-2)=0とはなりませんが・・・。私、約30年前に某大学の数学科(学部のみ) を卒業しているので、ある程度の基礎的な数学はわかります。(複素関数論、多様体、トポロジー、関数解析の初歩、微分方程式論など)・・・が、今は一般人です。(先日のNHKの番組を見ての疑問です)すでにいくつか回答が載ってますので、別の説明を。





NHKの番組ではゼータ関数を以下のように定義していたと思います。



ζ(s)=Π(p^s/(p^s−1) 積はすべての素数



ただ、あまり一般的な定義の仕方ではないので、



ζ(s)=Σn^(-s) 和は自然数



が、一般的なゼータ関数の定義になります。





この関数はRe(s)>1で収束します。(s=1だと調和級数になりよく知られているように、無限大に発散します。それより小さいと当然収束しない。)



なのに、s=-2(および負の偶数)で値が定義できるのは解析接続からです。

(大学では複素関数の講義などで出てくると思います。関数の定義域を拡張する手法です。)



さて、s=-2(および負の偶数)で値が0になることを証明するのは難しいのですが、以下のよく知られた公式を知っていればすぐに理解できます。



ζ(s)=2^sπ^(s-1)sin(πs/2)Γ(1-s)ζ(1-s) Γはガンマ関数



これはリーマンの論文(与えられた数より小さな素数の個数について)の中でも出てくる有名なゼータ関数の関数等式です。

右辺にはsin関数があるので、s=-2(および負の偶数)でゼロになります。





リーマン予想について数学が比較的得意な人向けにはなりますが、「素数に憑かれた人たち」(ジョン・ダービーシャー)という本があります。amazonの書評をみてもかなり好評なものです。

NHKの番組ではかなりレベルを落として説明されてましたが、このリーマン予想が素数の個数を推計するうえで非常に重要な役割を果たすことが、とてもわかりやすく説明されてます。NHKの番組では素数の積でリーマンのゼータ関数が表せるということで、ゼータ関数と素数の関係を終わらせてましたが、もっと深いところでリーマン予想と素数は結びついてます。

私も10年以上前に数学科を卒業したものです。加減乗除以外の数学を全く使わない普通の

会社員として働いているのですが、つい先日、興味がわき読んでみました。ちょうど好い塩梅に数学的に説明されていて、読み物としても面白く、数学の面白さも堪能できる良書です。もしよろしければ、読んでみてください。なるほど関数論で習った「解析接続」ですか。さらにΓ(ガンマ)関数になおすと確かに「自明」ですね。学生時代、リーマン予想のことは習わなかったから目から鱗がおちました。長年、書庫に眠っている数学の本を調べてみます。
posted by 楽器ショピングスタッフブログ at 02:15| Comment(0) | 日記 | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする
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